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% 文档信息
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\title{基于微分方程的种群增长模型分析}
\author{张三 \\ 数学与应用数学专业 \\ 某某大学数学学院}
\date{\today}

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% 正文开始
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\begin{document}

\maketitle

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% 摘要与关键词
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\begin{abstract}
本文研究了常微分方程在种群动力学中的应用，重点分析了Malthus模型与Logistic模型的数学结构、解析解及其生物意义。通过相图分析和数值模拟，比较了两种模型在不同参数下的长期行为。结果表明，Logistic模型更符合实际种群增长的饱和特性。本文还简要讨论了模型的局限性与改进方向。

\bigskip
\noindent \textbf{关键词：} 种群模型；微分方程；Malthus模型；Logistic模型；稳定性分析
\end{abstract}

%\newpage

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% 正文章节
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\section{引言}
在生态学和生物数学中，种群数量随时间的变化规律是一个基本问题。18世纪末，Malthus提出了指数增长模型，假设种群增长率恒定。然而，该模型忽略了环境承载能力的限制。19世纪，Verhulst提出了Logistic模型，引入了非线性项以描述资源竞争效应。

本文旨在通过数学分析方法，系统比较这两个经典模型的性质，并借助MATLAB进行数值模拟，直观展示其动态行为。

\section{Malthus 模型}
Malthus 模型假设种群增长率与当前数量成正比，其数学形式为一阶线性常微分方程：
\begin{equation}
\frac{dN}{dt} = rN, \quad N(0) = N_0,
\label{eq:malthus}
\end{equation}
其中 $N(t)$ 表示时刻 $t$ 的种群数量，$r > 0$ 为内禀增长率。该方程的解析解为：
\begin{equation}
N(t) = N_0 e^{rt}.
\end{equation}
显然，当 $r > 0$ 时，种群将无限增长，这在现实中是不可能的。

\section{Logistic 模型}
Logistic 模型引入环境承载力 $K$，假设增长率随种群数量增加而线性下降：
\begin{equation}
\frac{dN}{dt} = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right), \quad N(0) = N_0.
\label{eq:logistic}
\end{equation}
该方程的解为：
\begin{equation}
N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{N_0} - 1\right) e^{-rt}}.
\end{equation}
当 $t \to \infty$ 时，$N(t) \to K$，表现出饱和特性。

\section{数值模拟与结果分析}
我们取 $r = 0.5$, $K = 100$, $N_0 = 10$，使用欧拉法对模型 (\ref{eq:logistic}) 进行数值求解。结果如图 \ref{fig:simulation} 所示。

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{example-image} % 替换为你的图片文件名，如 population.png
\caption{Malthus 与 Logistic 模型的种群增长对比}
\label{fig:simulation}
\end{figure}

从图中可以看出，Logistic 模型的增长曲线呈“S”形，最终趋于稳定，而 Malthus 模型则持续指数增长。

\section{结论}
本文通过理论分析与数值模拟，验证了 Logistic 模型在描述有限资源环境下种群增长方面的优越性。未来可进一步研究多物种竞争模型或时滞微分方程模型。

% -------------------------------
% 参考文献（手动列出）
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%\newpage
%\section*{参考文献}
%\begin{enumerate}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{malthus} Malthus, T. R. (1798). \emph{An Essay on the Principle of Population}. London.
\bibitem{verhulst} Verhulst, P. F. (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. \emph{Correspondance Mathématique et Physique}, 10, 113--121.
\bibitem{jqy} 姜启源, 谢金星, 叶俊. (2018). \emph{数学模型（第五版）}. 高等教育出版社.
\bibitem{dtr} 丁同仁, 李承治. (2022). \emph{常微分方程教程}. 高等教育出版社. 

\end{thebibliography}

%\end{enumerate}

% 或使用 BibTeX（需 .bib 文件）
% \bibliography{references}

\end{document}
